耕知塾コラム

2022.09.10

 

（問題編はこちら）

 

 

解説です。

あまりにも大変だと思った人もいるかもしれません。

この問題は、普通の解き方をすると地獄をみます。

 

 

おそらく最初は、以下のようにやってみるのではないでしょうか。

 

まず、999975 は末尾が5なので、5でわれて 199995。

もう一度5でわれて 39999。

さらに 39999 は3でわれそうだなと考えて 13333。

 

しかしここからが大変です。

 

13333 は何でわれるのか？ ここから色々試しますが、7もダメ、11もダメ、17もダメ、19もダメ、23もダメ、…

 

結局この辺であきらめて、答え

 

$3\times5^{2}\times13333$

 

として終わる人が多くなります。

 

 

ところが、実は 13333 は 67 でわれます。

 

もちろんこの問題は、そんなことを知っているかどうかを聞いているのではありません。

ちょっとやってみて無理だと分かったら、別の方法を考えてみなさいよ、というわけです。

 

 

＊　　　　＊　　　　＊

 

 

では、この問題を正答できる生徒の考え方をたどってみましょう。

 

 

まず、999975 という数字をまじまじと眺めます。

5や25でわれます。それは分かっています。だから何だ？

 

 

仕方ないので、さらにまじまじと眺めます。

 

そうすると、1000000 に近い数だということが分かります。1000000 より 25 だけ小さいだけ。

 

 

 

…ここでひらめきます。25 は $5^{2}$ で、1000000 は $1000^{2}$ 。

しかも 25 だけ小さい…。

 

ということは、 $x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a)$ の因数分解の形だ！

 

 

というわけで

 

$999975 = 1000000-25$

$=1000^{2}-5^{2}$

$=(1000-5)\times(1000+5)$

$=995\times1005$

 

と、複雑な要素を２つの簡単な要素に分解することができます。

ここまでくれば、

 

$995=5\times199$

$1005=5\times201=5\times3\times67$

 

と分かるので、答えは、

 

 

$999975=3\times5^{2}\times67\times199$

 

 

となります。

 

※ちなみに199が素数かどうか（何かでわれるかどうか）は少し不安ですが、これはある程度試せば何とかなります。199は $14^{2}$ より大きく、$15^{2}$ より小さいから、14以下の整数だけを試せばよいと考えると、結局7、11、13だけを調べれば問題ありません。実際、どれでもわれませんので、199は素数と分かります。

 

 

＊　　　　＊　　　　＊

 

 

さてどうでしょう。

 

なぜできる人はこんなことを思いつけるのかと言えば、素因数分解とは「かけ算で分解する」という行為だという本質が（なんとなくでも）分かっているからでしょう。

 

その本質を考えると、素因数分解も因数分解も同じことで、しかも $1000000=1000^{2}$ と $25=5^{2}$ という2乗の要素を考えれば、$x^{2}-a^{2}=(x-a)(x+a)$ の因数分解の形が連想されます。

 

つまり、こういった応用問題に対応できるかは、普段からいかに深く、本質に迫るような勉強ができているのかに依るということですね。

 

 

さて、今回はこれで終わりです。最後までご覧いただきありがとうございました。