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耕知塾コラム

  • 耕知塾
  • 2022.09.10

     

    (問題編はこちら

     

     

    解説です。

    あまりにも大変だと思った人もいるかもしれません。

    この問題は、普通の解き方をすると地獄をみます。

     

     

    おそらく最初は、以下のようにやってみるのではないでしょうか。

     

    まず、999975 は末尾が5なので、5でわれて 199995。

    もう一度5でわれて 39999。

    さらに 39999 は3でわれそうだなと考えて 13333。

     

    しかしここからが大変です。

     

    13333 は何でわれるのか? ここから色々試しますが、7もダメ、11もダメ、17もダメ、19もダメ、23もダメ、…

     

    結局この辺であきらめて、答え

     

    3×52×13333

     

    として終わる人が多くなります。

     

     

    ところが、実は 13333 は 67 でわれます。

     

    もちろんこの問題は、そんなことを知っているかどうかを聞いているのではありません。

    ちょっとやってみて無理だと分かったら、別の方法を考えてみなさいよ、というわけです。

     

     

    *    *    *

     

     

    では、この問題を正答できる生徒の考え方をたどってみましょう。

     

     

    まず、999975 という数字をまじまじと眺めます。

    5や25でわれます。それは分かっています。だから何だ?

     

     

    仕方ないので、さらにまじまじと眺めます。

     

    そうすると、1000000 に近い数だということが分かります。1000000 より 25 だけ小さいだけ。

     

     

     

    …ここでひらめきます。25 は 52 で、1000000 は 10002

    しかも 25 だけ小さい…。

     

    ということは、 x2a2=(xa)(x+a) の因数分解の形だ!

     

     

    というわけで

     

    999975=100000025

    =1000252

    =(10005)×(1000+5)

    =995×1005

     

    と、複雑な要素を2つの簡単な要素に分解することができます。

    ここまでくれば、

     

    995=5×199

    1005=5×201=5×3×67

     

    と分かるので、答えは、

     

     

    999975=3×52×67×199

     

     

    となります。

     

    ※ちなみに199が素数かどうか(何かでわれるかどうか)は少し不安ですが、これはある程度試せば何とかなります。199は 142 より大きく、152 より小さいから、14以下の整数だけを試せばよいと考えると、結局7、11、13だけを調べれば問題ありません。実際、どれでもわれませんので、199は素数と分かります。

     

     

    *    *    *

     

     

    さてどうでしょう。

     

    なぜできる人はこんなことを思いつけるのかと言えば、素因数分解とは「かけ算で分解する」という行為だという本質が(なんとなくでも)分かっているからでしょう。

     

    その本質を考えると、素因数分解も因数分解も同じことで、しかも 1000000=1000225=52 という2乗の要素を考えれば、x2a2=(xa)(x+a) の因数分解の形が連想されます。

     

    つまり、こういった応用問題に対応できるかは、普段からいかに深く、本質に迫るような勉強ができているのかに依るということですね。

     

     

    さて、今回はこれで終わりです。最後までご覧いただきありがとうございました。

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