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2022.09.10
(問題編はこちら)
解説です。
あまりにも大変だと思った人もいるかもしれません。
この問題は、普通の解き方をすると地獄をみます。
おそらく最初は、以下のようにやってみるのではないでしょうか。
まず、999975 は末尾が5なので、5でわれて 199995。
もう一度5でわれて 39999。
さらに 39999 は3でわれそうだなと考えて 13333。
しかしここからが大変です。
13333 は何でわれるのか? ここから色々試しますが、7もダメ、11もダメ、17もダメ、19もダメ、23もダメ、…
結局この辺であきらめて、答え
として終わる人が多くなります。
ところが、実は 13333 は 67 でわれます。
もちろんこの問題は、そんなことを知っているかどうかを聞いているのではありません。
ちょっとやってみて無理だと分かったら、別の方法を考えてみなさいよ、というわけです。
* * *
では、この問題を正答できる生徒の考え方をたどってみましょう。
まず、999975 という数字をまじまじと眺めます。
5や25でわれます。それは分かっています。だから何だ?
仕方ないので、さらにまじまじと眺めます。
そうすると、1000000 に近い数だということが分かります。1000000 より 25 だけ小さいだけ。
…ここでひらめきます。25 は
で、1000000 は 。しかも 25 だけ小さい…。
ということは、
の因数分解の形だ!というわけで
と、複雑な要素を2つの簡単な要素に分解することができます。
ここまでくれば、
と分かるので、答えは、
となります。
※ちなみに199が素数かどうか(何かでわれるかどうか)は少し不安ですが、これはある程度試せば何とかなります。199は
より大きく、 より小さいから、14以下の整数だけを試せばよいと考えると、結局7、11、13だけを調べれば問題ありません。実際、どれでもわれませんので、199は素数と分かります。* * *
さてどうでしょう。
なぜできる人はこんなことを思いつけるのかと言えば、素因数分解とは「かけ算で分解する」という行為だという本質が(なんとなくでも)分かっているからでしょう。
その本質を考えると、素因数分解も因数分解も同じことで、しかも
と という2乗の要素を考えれば、 の因数分解の形が連想されます。つまり、こういった応用問題に対応できるかは、普段からいかに深く、本質に迫るような勉強ができているのかに依るということですね。
さて、今回はこれで終わりです。最後までご覧いただきありがとうございました。